Question

某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试．规定三项都合格者才能录取．假定每项测试相互独立，学生A各项测试合格的概率组成一个公差为的等差数列，且第一项测试不合格的概率超过，第一项测试不合格但第二项测试合格的概率为．
（Ⅰ）求学生A被录取的概率；
（Ⅱ）求学生A测试合格的项数X的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）学生A被录取，包括进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取，假定每项测试相互独立，可用相互独立事件同时发生的概率求概率，根据等差数列的性质做出每一项合格的概率．
（II）学生A测试合格的项数X，由题意知X的取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率，写出分布列，做出期望．
解答：解：（I）记学生A通过这三个项目的测试的事件分别为B，C，D，
由题设可设P（B）=a，，．
由题意得，，
解得，或（舍去，不合题意）．
所以，，．
由于事件B，C，D相互独立，所以学生A被录取的概率为
P₁=．
（Ⅱ）由题设知，学生A测试合格的项数X的取值为0，1，2，3．则；=
=；
=
=；
．
∴X的分布列是

∴X的数学期望．
点评：本题主要考查等差数列，相互独立事件、互斥事件的概率，离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，同时考查运用概率知识分析问题和解决问题的能力．