Question

某校在招收体育特长生时，须对报名学生进行三个项目的测试．规定三项都合格者才能录取．假定每项测试相互独立，学生A各项测试合格的概率组成一个公差为

1

8

的等差数列，且第一项测试不合格的概率超过

1

2

，第一项测试不合格但第二项测试合格的概率为

9

32

．
（Ⅰ）求学生A被录取的概率；
（Ⅱ）求学生A测试合格的项数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）学生A被录取，包括进行三个项目的测试，规定三项都合格者才能录取，假定每项测试相互独立，可用相互独立事件同时发生的概率求概率，根据等差数列的性质做出每一项合格的概率．
（II）学生A测试合格的项数X，由题意知X的取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率，写出分布列，做出期望．

解答：解：（I）记学生A通过这三个项目的测试的事件分别为B，C，D，
由题设可设P（B）=a，P ( C ) = a+

1

8

，P ( D ) = a+

1

4

( a＜

1

2

 )．
由题意得，( 1-a )( a+

1

8

 )=

9

32

，
解得a=

1

4

，或a=

5

8

（舍去，不合题意）．
所以P ( B ) = 

1

4

，P ( C ) = 

3

8

，P ( D ) = 

1

2

．
由于事件B，C，D相互独立，所以学生A被录取的概率为
P₁=P ( BCD )=P ( B ) P ( C ) P ( D )=

1

4

×

3

8

×

1

2

=

3

64

．
（Ⅱ）由题设知，学生A测试合格的项数X的取值为0，1，2，3．则P ( X=0 )=P ( 

.

B

 

.

C

 

.

D

 )=P ( 

.

B

 ) P ( 

.

C

 ) P ( 

.

D

 )=( 1-

1

4

 )×( 1-

3

8

 )×( 1-

1

2

 )=

15

64

；P ( X=1 )=P ( B 

.

C

 

.

D

 )+P (  

.

B

 C 

.

D

 )+P ( 

.

B

 

.

C

 D )=P ( B ) P ( 

.

C

 ) P ( 

.

D

 )+P ( 

.

B

 ) P ( C ) P ( 

.

D

 )+P ( 

.

B

 ) P ( 

.

C

 ) P ( D )
=

1

4

×

5

8

×

1

2

+

3

4

×

3

8

×

1

2

+

3

4

×

5

8

×

1

2

=

29

64

；
P ( X=2 )=P ( B C 

.

D

 )+P (  B 

.

C

 D )+P ( 

.

B

 C D )=P ( B ) P ( C ) P ( 

.

D

 )+P ( B ) P ( 

.

C

 ) P ( D )+P ( 

.

B

 ) P ( C ) P ( D )
=

1

4

×

3

8

×

1

2

+

1

4

×

5

8

×

1

2

+

3

4

×

3

8

×

1

2

=

17

64

；
P ( X=3 )=P1=

3

64

．
∴X的分布列是

∴X的数学期望EX = 0× 

15

64

 + 1× 

29

64

+ 2× 

17

64

 +3× 

3

64

= 

9

8

．

点评：本题主要考查等差数列，相互独立事件、互斥事件的概率，离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，同时考查运用概率知识分析问题和解决问题的能力．