Question

已知数列{a_n}满足S_n=n-a_n
（1）a₁，a₂，a₃，a₄的值，并猜想{a_n}的通项公式
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想
（3）（文科做）设z∈Z，z+2i，

z

2-i

都是实数，求3z-z²（

.

z

是z的共轭复数）

Answer 1

分析：（1）根据S_n=n-a_n，利用递推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（2）总结出规律求出a_n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
（3）设出复数Z利用两个复数都是实数，求出复数Z，然后化简求解3z-z²即可．

解答：解：（1）由a₁=1-a₁，得a₁=

1

2

，
由a₁+a₂=2-a₂，得a₂=

3

4

，
由a₁+a₂+a₃=3-a₃，得a₃=

7

8

，
由a₁+a₂+a₃+a₄=4-a₄，得a₄=

15

16

，
猜想a_n=

2n-1

2n

（2）证明：①当n=1，由上面计算可知猜想成立，
②假设n=k时猜想成立，即a_k=

2k-1

2k

，
此时S_k=k-a_k=k-

2k-1

2k

，
当n=k+1时，S _k+1=（k+1）-a _k+1，得S_k+a_k+1=（k+1）-a_k+1，
因此a_k+1=

1

2

[（k+1）-S_k]=k+1-

1

2

（k-

2k-1

2k

）=

2k+1-1

2k+1

，
∴当n=k+1时也成立，
∴a_n=

2n-1

2n

（n∈N⁺）．
（3）设复数Z=a+bi，（a，b∈R）．
因为z+2i，

z

2-i

都是实数，
所以a+bi+2i是实数，所以b=-2．

a-2i

2-i

=

(a-2i)(2+i)

(2-i)(2+i)

=

2a+2+(a-4)i

5

，所以a=4．
则3z-z²=3（4-2i）-（4-2i）²=12-6i-16+16i+4=10i．

点评：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法．文科题目，考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，基本知识的考查．