Question

（2008•上海模拟）已知向量

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

cosx），函数f（x）=

a

•

b

．
求：（1）函数f（x）的最小正周期
（2）函数f（x）在x∈[0，

π

2

]上的最大值与最小值，并指出何时取得？

Answer 1

分析：（1）根据向量数理积的坐标公式，得

a

•

b

=-cos²x+

3

sinxcosx，再用三角函数的降幂公式，化简合并为
f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，即可利用三角函数的有关结论，求出函数f（x）的最小正周期．
（2）在x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，将函数的相位2x-

π

6

当作一个整体，结合正弦函数的图象与性质，
可得出函数在∈[0，

π

2

]上的最大值与最小值，进而可得相应的自变量的值．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=-cos²x+

3

sinxcosx …2分）
=sin（2x-

π

6

）-

1

2

…（4分）
T=π…（6分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

…（8分）
当x=

π

3

时，f（x）_max=1-

1

2

=

1

2

…（10分）
当x=0时，f（x）_min=-1…（12分）

点评：本题以平面向量为载体，考查了三角函数的单调区间与值域等问题，属于中档题．