Question

知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出定义域、值域．
（2）若g（x）=f（x）+，且g（x）在区间（0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），
点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（-x，2-y）在h（x）的图象上（3分）
∴，
∴，即（6分）
f（x）的定义域为：{x|x≠0），值域为：{x|x≤0或x≥4}
（2）由题意 ，且
∵x∈（0，2]
∴a+1≥x（6-x），即a≥-x²+6x-1，（9分）
令q（x）=-x²+6x-1，x∈（0，2]，q（x）=-x²+6x-1=-（x-3）²+8，
∴x∈（0，2]时，q（x）_max=7（11分）
∴a≥7（13分）
方法二：q′（x）=-2x+6，x∈（0，2]时，q′（x）＞0
即q（x）在（0，2]上递增，
∴x∈（0，2]时，q（x）_max=7
即 a≥x²-1在x∈（0，2]时恒成立．
∵x∈（0，2]时，（x²-1）_max=3
∴a≥3
∴a≥7
分析：（1）主要是利用中点坐标公式得出对称点的坐标，然后代入函数表达式就可求出函数解析式，再根据解析式写出定义域和值域．
（2）因为在这个区间上x＞0，所以可以分离常数法讲参数a和自变量x分到不等式的两边，问题就转化为求关于x的一个函数在这个区间上的求最值问题，法一：是利用二此函数的配方法求出函数在这个区间上的最大值；法二：是利用导数法求出函数在这个区间上的最大值，求出最大值后从而就可以求出a的取值范围．
点评：本题第1问主要考查函数关于点对称的问题，主要用中点坐标公式解决，第2问考查恒成立问题，此类问题经常先分离常数，在转化为函数求最值问题．