正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,E为棱CC1的中点.则:
(1)二面角E-AB-C的平面角的正切值是________;
(2)二面角C-AE-B的平面角的正切值是________;
(3)点D1到平面EAB的距离是________.
解(1)由正方体性质,AB⊥面EBC,∴AB⊥BC,AB⊥EB,∴∠EBC二面角E-AB-C的平面角
在直角三角形ECB中,tan∠EBC=
(2)连接BD交AC于O,过点O作OF⊥AE交AE于F,连接OF
∵BO⊥平面ACE,∴AE⊥AE,∴AE⊥面OFB,AE⊥BF,∴∠OFB是二面角C-AE-B的平面角.
在直角三角形ACE中,AC=2
,AO=
,AE=3,∵OF:CE=AO:AE,∴OF=
,
在直角三角形FOB中,tan∠OFB=
=3.
(3)D
1C
1∥平面ABE,∴点C
1到平面EAB的距离等于点D
1到平面EAB的距离 h.
∴V
A-BCE1=V
C1-ABE 即
S△BEC
1×AB=
△ABE×h,
又S△BEC
1=
=1.S△ABE=
×AB×BE=
=
.
∴
,h=
.
分析:(1)由正方体性质,AB⊥面EBC,∴AB⊥BC,AB⊥EB,∴∠EBC二面角E-AB-C的平面角
(2)连接BD交AC于O,过点O作OF⊥AE交AE于F,连接OF,可得∠OFB是二面角C-AE-B的平面角.根据相似三角形性质求出OF后,解三角形BOF即可.
(3)由于D
1C
1∥平面ABE,即D
1到平面ABE的距离等于C
1到平面ABE的距离,利用等体积法求出C
1到平面ABE的距离即可.
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,点到平面的距离,(1)的关键是利用定义直接找出所求的二面角的平面角,(2)的关键是通过作垂线,确定∠OFB是二面角B-AE-C的平面角,(3)的关键是转化成C
1到平面ABE的距离.考查空间想象、转化、计算能力.