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(2012•湖南模拟)设向量
a
=(a1a2)
b
=(b1b2)
,定义一种向量积
a
?
b
=(a1b1a2b2)
,已知
m
=(2,
1
2
)
n
=(
π
3
,0)
,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动.Q是函数y=f(x)图象上的点,且满足
OQ
=
m
?
OP
+
n
(其中O为坐标原点),函数y=f(x)的值域是
[-
1
2
1
2
]
[-
1
2
1
2
]
分析:先设出点P、Q的坐标,根据
OQ
=
m
?
OP
+
n
,得到P、Q的坐标之间的关系,从而写出函数f(x)的解析式,得到答案.
解答:解:设P(x0,y0),Q(x,f(x)),则由已知得(x,f(x))=(2x0+
π
3
1
2
y0),
即x=2x0+
π
3
,∴x0=
1
2
x-
π
6
,f(x)=
1
2
y0 ,∴y0=2f(x).
又y0=sinx0,∴2f(x)=sin(
1
2
x-
π
6
),故f(x)=
1
2
sin(
1
2
x-
π
6
).
∴(f(x))max=
1
2
,(f(x))min=-
1
2

故函数y=f(x)的值域是 [-
1
2
1
2
]

故答案为 [-
1
2
1
2
]
点评:本题主要考查三角函数的最值和最小正周期的求法.这个题要先从条件中抽象出函数的解析式来,再解题,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖南模拟)已知函数f(x)=
1
2
x2+x-(x+1)ln(x+1)

(1)判断f(x)的单调性;
(2)记φ(x)=f′(x-1)-k(x-1),若函数φ(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),求证:φ′(
x1+x2
2
)>0

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖南模拟)已知向量
m
=(2cos2x,
3
),
n
=(1,sin2x)
,函数f(x)=
m
n

(1)求函数f(x)的对称中心;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)=3,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖南模拟)设函数y=f(x)在区间(a,b)的导函数f′(x),f′(x)在区间(a,b)的导函数f″(x),若在区间(a,b)上的f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,已知f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2
,若当实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,则b-a的最大值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖南模拟)已知函数f(x)=
-x-1(x<-2)
x+3(-2≤x≤
1
2
)
5x+1(x>
1
2
)
(x∈R),
(Ⅰ)求函数f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知m∈R,命题p:关于x的不等式f(x)≥m2+2m-2对任意x∈R恒成立;命题q:函数y=(m2-1)x是增函数.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•湖南模拟)设曲线y=xn+1(n∈N)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1•x2•x3•…•x2012的值为
1
2013
1
2013

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