Question

（2011•普宁市模拟）已知数列{a_m}是首项为a，公差为b的等差数列，{b_n}是首项为b，公比为a的等比数列，且满足a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，其中a、b、m、n∈N*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若数列{1+a_m}与数列{b_n}有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列{c_n}，求数列{c_n}的通项公式；
（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列{c_n}的前项之和为S_n，求证：

9

S1S2

+

9

S2S3

+

9

S3S4

+…+

9

SnSn+1

＜

19

42

(n≥3)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设a_m=a+（m-1）b，知b_n=b•a^n-1．由a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，知ab＜a+2b＜3b．由此能求出a．
（Ⅱ）设1+a+（m-1）b=b•a^n-1．由a=2，知3+（m-1）b=b•2^n-1，所以b=

3

2n-1-(m-1)

．由此能求出c_n．
（Ⅲ）由S_n=3（1+2+…+2^n-1）=3（2ⁿ-1）．知当n≥3时，2ⁿ-1=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ-1≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ-1=2n+1，当且仅当n=3时等号成立，所以S_n≥3（2n+1）．由此能够证明

9

S1S2

+

9

S2S3

+

9

S3S4

+…+

9

SnSn+1

＜

19

42

(n≥3)．

解答：解：（Ⅰ）由题设a_m=a+（m-1）b，b_n=b•a^n-1．   …（1分）
由已知a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，所以ab＜a+2b＜3b．
又b＞0，所以a＜3．  …（2分）
因为ab＞a+b，b＞a，则ab＞2a．又a＞0，
所以b＞2，从而有a＞

b

b-1

＞1．    …（3分）
因为a∈N*，故a=2．           …（4分）
（Ⅱ）设1+a_m=b_n，即1+a+（m-1）b=b•a^n-1．    …（5分）
因为a=2，则3+（m-1）b=b•2^n-1，
所以b=

3

2n-1-(m-1)

．   …（6分）
因为b＞a=2，且b∈N*，所以2^n-1-（m-1）=1，
即m=2^n-1，且b=3． …（7分）
故c_n=b_n=3•2^n-1．         …（8分）
（Ⅲ）由题设，S_n=3（1+2+…+2^n-1）=3（2ⁿ-1）．   …（9分）
当n≥3时，2ⁿ-1=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ-1≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ-1=2n+1，当且仅当n=3时等号成立，
所以S_n≥3（2n+1）．    …（11分）
于是

9

Snsn+1

=

1

(2n-1)(2n+1-1)

＜

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

[

1

2n+1

-

1

2n+3

](n≥3)．
（12分）
因为S₁=3，S₂=9，S₃=21，则

9

S1S2

+

9

S2S3

+

9

S3S4

+…+

9

SnSn+1

＜

1

3

+

1

21

+

1

2

[

1

7

-

1

9

+

1

9

-

1

11

+…

1

2n+1

-

1

2n+3

]
=

1

3

+

1

21

+

1

2

(

1

7

-

1

2n+3

)＜

1

3

+

1

21

+

1

14

=

19

42

．   …（14分）

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，合理地运用放缩法进行证明．注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．