Question

【题目】已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）令，区间， 为自然对数的底数。

（ⅰ）若函数在区间上有两个极值，求实数的取值范围；

（ⅱ）设函数在区间上的两个极值分别为和，

求证： .

Answer 1

【答案】（1）增区间，减区间，（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2）（ⅰ）函数 在区间D上有两个极值，等价于 在 上有两个不同的零点，令 ，得 ，通过求导分析得 的范围为；（ⅱ） ，得，由分式恒等变换得，得，要证明 ，只需证 ，即证，

令 ， ，通过求导得到 恒成立，得证。

试题解析：

(1)当时， ，

所以

若 ，则 所以的单调区增区间为

若则所以的单调区增区间为

（2）（ⅰ）因为 ，

所以 ， ，

若函数 在区间D上有两个极值，等价于 在 上有两个不同的零点，

令 ，得 ，

设 ，令

		大于0	0	小于0
	0	增		减

所以 的范围为

（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数在区间D上有两个极值分别为 和，不妨设 ，则 ，

所以

即 ，

要证 ，只需证 ，即证，

令 ，即证 ，即证 ，

令 ，因为 ，

所以 在上单调增， ，所以 ，

即 所以 ，得证。