Question

是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．

(1)准线是y轴；

(2)顶点在x轴上；

(3)点A(3，0)到此抛物线上动点P的距离最小值是2.

Answer 1

解：假设存在这样的抛物线，顶点为(a,0)，则方程为y²=4a（x-a）（a≠0），

    设P(x₀，y₀)，则y₀²=4a（x₀-a），

    ｜AP｜²=（x₀-3）²+y₀²

    =［x₀-（3-2a）］²+12a-8a²，

    令F（a）=｜AP｜²，

    ①当a＞0时，有x₀≥a，

    当3-2a≥a即a∈（0，1）时，

    ｜AP｜²=F（3-2a）,

    ∴a=1或a=;

    抛物线方程为

    y²=4（x-1）或y²=2（x-）.

    当3-2a＜a即a＞1时,

    ｜AP｜²=F（a）.

    ∴a=5或a=1(舍),

    抛物线方程为y²=20（x-5）.

    ②当a＜0时，显然与已知矛盾,

∴所求抛物线方程为y²=4（x-1）或y²=2（x-）或y²=20（x-5）．