Question

（2013•郑州二模）已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切．
（Ⅰ）求曲线D的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的△APM？①点M在椭圆C上；②点O为APM的重心．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（若三角形ABC的三点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则其重心G的坐标为（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

））

Answer 1

分析：（I）设P（x，y），由椭圆C的方程可得F（1，0），由题意可得以PF为直径的圆的圆心E(

x+1

2

，y)，利用两点间的距离公式得到

|x+1|

2

=

1

2

|PF|=

1

2

(x-1)2+y2

，化简即可；
（II）不存在．可用反证法证明．若这样的三角形存在，由题可设P(

y12

4

，y1)(y1≠0)，M(x2，y2)，由条件知点M在椭圆上可得

x22

4

+

y22

3

=1，由三角形的重心定理可得

OA

+

OP

+

OM

=

0

，及点A（-2，0），代入化简即可得到x₂，判断即可．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由题知F（1，0），所以以PF为直径的圆的圆心E(

x+1

2

，

y

2

)，
则

|x+1|

2

=

1

2

|PF|=

1

2

(x-1)2+y2

，
整理得y²=4x，为所求．
（Ⅱ）不存在，理由如下：
若这样的三角形存在，由题可设P(

y12

4

，y1)(y1≠0)，M(x2，y2)，
由条件①知

x22

4

+

y22

3

=1，
由条件②得

OA

+

OP

+

OM

=

0

，又因为点A（-2，0），
所以

y12 4 +x2-2=0 y1+y2=0

即

y22

4

+x2-2=0，
故

3

4

-

3

16

x22+x2-2=0，
解之得x₂=2或x2=

10

3

（舍），
当x₂=2时，解得P（0，0）不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在．

点评：本题考查了椭圆及抛物线的定义、标准方程及其性质、反证法、重心定理、向量的运算性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．