Question

设函数f（x）=

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sin（πx），若存在x₀∈（-1，1）同时满足以下条件：
①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x₀）成立；
②x₀²+[f（x₀）]²＜m²，
则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：直接利用题中的已知条件建立关系式先求出，对f（x）≤f（x₀）成立，只需满f（x）≤f（x₀）_min即可．由于f（x）=

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sin（πx），所以：先求出f（x）的最小值，进一步求出：当x₀最小，f（x₀）最小时，函数x₀²+[f（x₀）]²＜m²，解得：m²≥4，最后求出结果．

解答： 解：根据题意：①对任意的x∈R，都有f（x）≤f（x₀）成立
由于：x₀∈（-1，1）
所以：对f（x）≤f（x₀）成立，只需满足f（x）≤f（x₀）_min即可．
由于f（x）=

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sin（πx），
所以：f(x0)min=-

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由于②x₀²+[f（x₀）]²＜m
所以当x0=-

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，且f(x0)min=-

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求出：m²≥4
进一步求出：m≥2或m≤-2
故答案为：m≥2或m≤-2

点评：本题考查的知识要点：三角函数的值域，函数的恒成立问题和存在性问题，属于基础题型．