Question

已知数列{a_n}中，a₁=1前n项和为S_n，
（Ⅰ）若点P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直线x-y+1=0上，求数列{a_n}通项公式并求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的和；
（Ⅱ）若点p（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直线2x-y+1=0上，求证：数列{a_n+1}为等比数列．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1-a_n=1，且a₁=1，从而得到a_n=n．S_n=n+

n(n-1)

2

×1=

n(n+1)

2

，进而

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此能求出

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的和．
（Ⅱ）由已知得2a_n-a_n+1+1=0，从而a_n+1+1=2（a_n+1），由此能证明数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．

解答： （Ⅰ）解：∵点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，
∴a_n+1-a_n=1，且a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n．
S_n=n+

n(n-1)

2

×1=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．
（Ⅱ）证明：∵点p（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直线2x-y+1=0上，
∴2a_n-a_n+1+1=0，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的证明，考查等比数列的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．