Question

（1）请填表

n	1	2	3	4	5	6	7	8
n2
2n

（2）根据表中数据填空：若n∈N*，则当

n=1或n≥5

时，n²＜2ⁿ；
（3）证明在（2）中你所得的结论；
（4）若x∈R，猜想方程x²=2^x有几个实数根？并简单说明猜想的过程．

Answer 1

分析：（1）根据函数表达式直接计算即可；
（2）可根据（1）所填的表格，结合指数函数与幂函数的性质观察后即可得到结论；
（3）用数学归纳法①n≥n₀（n₀=5）时成立，②假设n=k（k≥5）时成立，去证n=k+1时成立；
（4）由（1）中的表格及指数函数y=2^x与幂函数y=x²的图象观察后即可得到结论．

解答：解：（1）填表                                                      …（2分）

n	1	2	3	4	5	6	7	8
n2	1	4	9	16	25	36	49	64
2n	2	4	8	16	32	64	128	256

（2）n=1或n≥5时                                                 …（4分）
（少“n=1”扣1分）
（3）当n=5时，n²＜2ⁿ成立                                         …（5分）
假设n=k（k≥5）时，k²＜2^k                                       …（6分）
则当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2•k²                                  …（8分）
∵k＞4，∴k²＞4k=2k+2k＞2k+1                                   …（10分）
∴2^k+1＞2•k²=k²+k²＞k²+2k+1=（k+1）²，即（k+1）²＜2^k+1
当n=k+1时，n²＜2ⁿ也成立                                    …（11分）
综上所述，当n≥5时，n²＜2ⁿ成立                                 …（12分）
（4）有3个实数根                                                 …（14分）
由表可知，有两整数根，由图象可知，还有一个负实根            …（16分）

点评：本题考查数列的性质，易错点在于环节不全，考虑不周，（2）中少“n=1”，重点考查学生对数学归纳法的应用与数形结合思想的掌握，难点在于数学归纳法中放缩法的应用．