Question

已知函数f(x)=

1

x2+1

，令g(x)=f(

1

x

)．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）任取定义域内的5个自变量，根据要求计算并填表；观察表中数据间的关系，猜想一个等式并给予证明；

x						…
f(x)- 1 2						…
g(x)- 1 2						…

（3）如图，已知f（x）在区间[0，+∞）的图象，请据此在该坐标系中补全函数f（x）在定义域内的图象，并在同一坐标系中作出函数g（x）的图象．请说明你的作图依据．

Answer 1

分析：（1）先由条件，f（x）的定义域为一切实数，故x²≥0，从而得出函数的值域；
（2）由表格内数据猜想：f(x)-

1

2

=-(g(x)-

1

2

)或f（x）+g（x）=1，从而得出函数f（x）和g（x）都是偶函数，其本身图象关于y轴对称．
（3）由于f(x)-

1

2

=-(g(x)-

1

2

)，所以函数f(x)-

1

2

的图象和g(x)-

1

2

的图象关于x轴对称，即f（x）图象和g（x）图象关于直线y=

1

2

对称．由此，可作出f（x）和g（x）在定义域内的全部图象．

解答：解：（1）由条件，f（x）的定义域为一切实数，故x²≥0
所以，f（x）∈（0，1]．
（2）表格内数据只要满足f(x)-

1

2

和g(x)-

1

2

互为相反数即可得分．
猜想：f(x)-

1

2

=-(g(x)-

1

2

)或f（x）+g（x）=1
证明：f(x)+f(

1

x

)=

1

x2+1

+

x2

1+x2

=1
（3）f（x）和g（x）的图象见下图．
因为x∈R，且f（-x）=f（x），g（-x）=g（x），所以函数f（x）和g（x）都是偶函数，其本身图象关于y轴对称．
（注：只作对f（x）图象，并说明了理由的可得2分）
∵f(x)-

1

2

=-(g(x)-

1

2

)所以函数f(x)-

1

2

的图象和g(x)-

1

2

的图象关于x轴对称，即f（x）图象和g（x）图象关于直线y=

1

2

对称．
由此，可作出f（x）和g（x）在定义域内的全部图象．

点评：此题考查了函数解析式的求解及常用方法，还考查了函数的值域，此题解答的关键是数形结合思想的运用．