Question

已知函数f（x）=|2x-1|+|x-2a|
（Ⅰ）当a=-

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时，求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，则实数a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）运用零点分区间的方法，讨论当x＞

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时，当-1≤x≤

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时，当x＜-1时，去掉绝对值，分别解不等式，再求并集即可；
（Ⅱ）由题意，f（x）≤3可化为|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，得|x-2a|≤4-2x，即3x-4≤2a≤4-x 对x∈[1，2]恒成立，在x∈[1，2]时，求得3x-4 的最大值和4-x的最小值，即得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-

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时，不等式f（x）＞2即为
|2x-1|+|x+1|＞2，
当x＞

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时，2x-1+x+1＞2，解得x＞

2

3

，则有x＞

2

3

；
当-1≤x≤

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2

时，1-2x+x+1＞2解得x＜0，则有-1≤x＜0；
当x＜-1时，1-2x-x-1＞2解得x＜-

2

3

，则有x＜-1．
综上可得，x＞

2

3

或x＜0．
则解集为{x|x＞

2

3

或x＜0}；
（Ⅱ）∵f（x）=|2x-1|+|x-2a|，且f（x）≤3，
∴|x-2a|≤3-|2x-1|，
又∵x∈[1，2]，∴|x-2a|≤4-2x，
即 2x-4≤2a-x≤4-2x，
∴3x-4≤2a≤4-x对x∈[1，2]恒成立，
当1≤x≤2时，3x-4的最大值2，4-x的最小值为2，
∴2≤2a≤2，即有a=1．

点评：本题考查了含有绝对值不等式的解法问题，解题时应利用等价转化、分类讨论的数学思想，考查不等式的恒成立问题，注意转化为求函数的最值，是中档题．