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( 10分)已知双曲线的左、右焦点分别为,过点的动直线与双曲线相交于两点.
(I)若动点满足(其中为坐标原点),求点的轨迹方程;
(II)在轴上是否存在定点,使·为常数?若存在,求出点的坐标;
若不存在,请说明理由.
解:由条件知,设
解法一:(I)设,则
,由
 于是的中点坐标为
不与轴垂直时,,即
又因为两点在双曲线上,所以,两式相减得
,即
代入上式,化简得
轴垂直时,,求得,也满足上述方程.
所以点的轨迹方程是
(II)假设在轴上存在定点,使为常数.
不与轴垂直时,设直线的方程是
代入
是上述方程的两个实根,所以
于是



因为是与无关的常数,所以,即,此时=
轴垂直时,点的坐标可分别设为
此时
故在轴上存在定点,使为常数.
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m
=(2acosx,sinx),
n
=(cosx,bcosx),f(x)=
m
n
-
3
2
,函数f(x)的图象在y轴上的截距为
3
2
,并且过点(
π
4
1
2
)

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(Ⅱ)若A是三角形的内角,f(
A
2
-
π
6
)=
2
5
5
,求
3sinA-2cosA
sinA+cosA
的值.

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