Question

【题目】已知如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别为PC的三等分点．

（1）证明：AF∥平面EBD；

（2）已知AP=AD=1，AB=2，求二面角E-BD-A的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接AC交于BD点O，连接EO，由E、F分别为PC的三等分点，得到AF∥EO，利用线面平行的判定定理，即可证得AF∥平面EBD．

（2）以A为原点，AD、AB、AP的分别为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

（1）连接AC交于BD点O，连接EO．因为ABCD为矩形，

所以O为AC的中点．又E、F分别为PC的三等分点，

E为CF的中点，所以AF∥EO．

因为EO平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面EBD．

（2）以A为原点，AD、AB、AP的分别为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，

如图所示由条件可得D（1，0，0），B（0，2，0），C（1，2，0），P（0，0，1），

∵，∴，

，为平面ABD的一个法向量，

设面BDE的一个法向量为，则，即，

取y=1，则x=2，z=-2，所以，，

所以二面角D-AE-C的余弦值为．