Question

14．已知偶函数f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ的最小值为-6．
（1）求f（x）的最大值和此时x的取值集合；
（2）设函数g（x）=λf（ωx）-f（ωx+$\frac{π}{2}$），其中λ＞0，ω＞0，已知y=g（x）在x=$\frac{π}{6}$处取最小值并且点（$\frac{2π}{3}$，3-3λ）是其图象的一个对称中心，试求λ+ω的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简f（x），由f（x）为偶函数，且f（x）的最小值为-6，求得sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，从而求出f（x）的解析式，从而求出f（x）的最大值和此时x的取值集合．
（2）化简g（x）的解析式，由g（x）在x=$\frac{π}{6}$处取最小值并且点（$\frac{2π}{3}$，3-3λ）是其图象的一个对称中心，求得ω=1、λ=$\sqrt{3}$，由此可得λ+ω的最小值．

解答 解：∵f（x）=5cosθsinx-5sin（x-θ）+（4tanθ-3）sinx-5sinθ=5cosxsinθ+（4tanθ-3）sinx-5sinθ，
由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），化简可得4tanθ-3=0，得tanθ=$\frac{3}{4}$，故sinθ=±$\frac{3}{5}$．
根据 f（x）=5cosxsinθ-5sinθ=5sinθ（cosx-1），-2≤cosx-1≤0，f（x）最小值-6，
所以sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，f（x）=3（cosx-1），
故当x=2kπ，k∈Z时，即x∈{x|x=2kπ，k∈Z} 时，cosx取得最大值为1，函数f（x）取得最大值为0．
（2）由（1）可得函数g（x）=λf（ωx）-f（ωx+$\frac{π}{2}$）=3λ（cosωx-1）-3[cos（ωx+$\frac{π}{2}$）-1]
=3λ（cosωx-1）+3sinωx+3=3sinωx+3λcosωx+3-3λ．
由g（x）在x=$\frac{π}{6}$处取最小值并且点（$\frac{2π}{3}$，3-3λ）是其图象的一个对称中心，可得$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$，求得ω=1，
故g（x）=3sinx+3λcosx+3-3λ，3sin$\frac{2π}{3}$+3λ•cos$\frac{2π}{3}$=0，∴λ=$\sqrt{3}$，故λ+ω的最小值为$\sqrt{3}$+1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，偶函数的定义和性质，正弦函数的图象对称性，属于中档题．