Question

已知曲线y=x³+4
（1）求曲线在P（2，12）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（3）求斜率为1的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：（1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）设切点，求出切线的斜率，得到切线的方程，代入点（2，4），再由切点在曲线上，解方程可得切点，进而得到切线方程；
（3）设切点，求得切线的斜率，令它为1，解方程可得切点，进而得到切线方程．

解答： 解：（1）y=x³+4的导数为y′=3x²，
则在P（2，12）处的切线斜率为3×4=12，
即有曲线在P（2，12）处的切线方程为y-12=12（x-2），
即为12x-y-12=0；
（2）设切点为（m，n），则过点P（2，4）的切线斜率为3m²，
即有切线方程为y-n=3m²（x-m），
代入（2，4）可得4-n=3m²（2-m），
又n=m³+4，
解得m=0，n=4或m=3，n=31．
即有切线方程为y-4=0或27x-y-50=0；
（3）设切点为（s，t），则切线的斜率为3s²=1，
即有s=±

3

3

，
则切点为（

3

3

，4+

3

9

），或（-

3

3

，4-

3

9

）．
则斜率为1的切线方程为x-y+4-

2 3

9

=0或x-y+4+

2 3

9

=0．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，注意区别在某点处和过点的切线，属于易错题．