Question

设f（x）=ax³+bx+c（a≠0）是奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为-12，
（1）求a，b，c的值；        
（2）求函数f（x）在[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数，推导出c=0．由f′（x）=3ax²+b的最小值为-12，推导出b=-12．由直线x-6y-7=0的斜率为

1

6

，推导出a=2．
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，从而得到f′（x）=6x²-12，由此能求出f（x）在[-1，3]上的最值．

解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，∴c=0．
∵f′（x）=3ax²+b的最小值为-12，∴b=-12．
又直线x-6y-7=0的斜率为

1

6

，
因此f′（1）=3a+b=-6，∴a=2，b=-12，c=0．
（2）由（1）知f（x）=2x³-12x，
∴f′（x）=6x²-12=6（x+

2

）（x-

2

），
列表如下：

x	（-∞，- 2 ）	- 2	（- 2 ， 2 ）	2	（ 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	Z	极大	↓	极小	↑

所以函数f（x）的单调增区间是（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）．
∵f（-1）=10，f（

2

）=-8

2

，f（3）=18，
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（

2

）=-8

2

．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数在闭区间上的最值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．