Question

设f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）为其导数，如图是y=x•f′（x）图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别为（　　）

A．f（1）与f（-1）

B．f（-1）与f（1）

C．f（2）与f（-2）

D．f（-2）与f（2）

Answer 1

分析：依题意，f′（x）=3ax²+2bx+c，于是y=g（x）=x•f′（x）=3ax³+2bx²+cx，由

g(-2)=0 g(2)=0

⇒b=0，c=-12a，从而可求得g（x）=3ax³-12ax，由图知a＞0，继而可求f（x）的极大值与极小值．

解答：解：∵f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴y=g（x）=x•f′（x）=3ax³+2bx²+cx，
由图可知，

g(-2)=0 g(2)=0

，即

-24a+8b-2c=0 24a+8b+2c=0

，
解得b=0，c=-12a．
∴g（x）=3ax³-12ax，由g′（x）=9ax²-12a＞0，结合图象可知，a＞0．
∴f（x）=ax³-12ax+d，
f′（x）=3ax²-12a=3a（x+2）（x-2），由f′（x）=0得x=-2或x=2；
令f′（x）＞0得x＞2或x＜-2；
令f′（x）＜0得-2＜x＜2；
∴当x=-2时，f（x）取到极大值，当x=2时，f（x）取到极小值．
故选D．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查识图与运算能力，求得f（x）=ax³-12ax+d且a＞0是关键，也是难点，属于中档题．