Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：

1

2

＜

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜1（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的前n项和公式及其数列的单调性即可得出．

解答： （1）解：∵S_n=2a_n-1（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴an=2n-1．
（2）证明：∵an=2n-1，
∴

1

an

=

1

2n-1

．
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
∵数列{1-

1

2n

}单调递增，
∴

3

4

≤1-

1

22

＜1．
∴

1

2

＜

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜1（n∈N^*）．

点评：本题考查了递推式、等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与几十年令，属于中档题．