Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=

1

2

λf′（x）+sinx，其中函数g（x）在[-1，1]上是减函数，若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数单调性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：求出函数f（x）的导数，代入g（x）化简，利用g（x）在[-1，1]上是减函数，得其导函数小于等于0，求得λ≤-1，再由g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，转化为g（x）的最大值小于等于λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，得到λ≥-2sin1，从而求得λ的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x²，
∴f′（x）=2x，代入g（x）=

1

2

λf′（x）+sinx，
得g（x）=λx+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，
∵g（x）在[-1，1]上单调递减，∴g′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，
即λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，得λ≤-1．
又g（x）在[-1，1]上单调递减，∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
又g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，故只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立，
得λ≥-2sin1，
由sin

π

6

=

1

2

＜sin1，得1＜2sin1，∴-2sin1＜-1，
故-2sin1≤λ≤-1．
∴λ的取值范围是[-2sin1，-1]．

点评：本题主要考查导数在解决恒成立问题的应用，注意转化思想的应用，属中高档题．