Question

已知函数f（x）=2

3

sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx，其中ω＞0，x∈R，若函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，若f（B）=-2，BC=

3

，sinB=

3

sinA，求

BA

•

BC

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），利用函数f（x）的最小正周期为π，ω＞0，可得

2π

2ω

=π，解得ω即可．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．由f（B）=-2，可得sin（2B+

π

6

）=-1，结合B∈（0，π）可求B=

2π

3

．利用BC=

3

，sinB=

3

sinA，可得a=

3

，b=

3

a．由正弦定理可得：

3

sinA

=

3

sin 2π 3

，解得sinA，C，c．再利用数量积运算性质即可得解．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
∵函数f（x）的最小正周期为π，ω＞0，
∴由周期公式可得：T=π=

2π

2ω

，可解得：ω=1．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
∵f（B）=-2，∴2sin（2B+

π

6

）=-2，∴sin（2B+

π

6

）=-1，B∈（0，π）．
∴B=

2π

3

．
∵BC=

3

，sinB=

3

sinA，
∴a=

3

，b=

3

a．∴b=3．由正弦定理可得：

3

sinA

=

3

sin 2π 3

，解得sinA=

1

2

，
∵A∈（0，

π

3

），∴A=

π

6

．∴C=

π

6

，c=

3

．
∴

BA

•

BC

=cacosB=

3

×

3

cos

2π

3

=-

3

2

．

点评：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、两角和差的余弦公式、三角函数的图象与性质、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．