Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°，E为BC中点
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面AB₁E
（Ⅱ）证明：AB⊥A₁C．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结A₁B，使A₁B∩AB₁=O，连结EO，由已知可证明EO∥A₁C，又因为EO?平面AB₁E，A₁C?平面AB₁E，即可判定A₁C∥平面AB₁E．
（Ⅱ）取AB中点F，连结CF，A₁F，先证明A₁F⊥AB，由CA=CB可证明CF⊥AB，由CF∩A₁F=F，可证明AB⊥面CFA₁，从而可证明AB⊥A₁C．

解答： （本题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结A₁B，使A₁B∩AB₁=O，连结EO，
因为ABB₁A₁为平行四边形，所以O为A₁B中点，
又因为E为BC中点，所以EO∥A₁C，
又因为EO?平面AB₁E，
A₁C?平面AB₁E，
所以，A₁C∥平面AB₁E；…（6分）
（Ⅱ）取AB中点F，连结CF，A₁F，
∵AB=AA₁，∠BAA₁=60°，∴△BAA₁是正三角形，
∴A₁F⊥AB，∵CA=CB，∴CF⊥AB，
∵CF∩A₁F=F，∴AB⊥面CFA₁，
∴AB⊥A₁C． …（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力，属于基本知识的考查．