Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+1=3a_n-2a_n-1（n∈N^*，n≥2）
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=2log₄（a_n+1）²，证明：对一切正整数n，有

1

b 2 1 -1

+

1

b 2 2 -1

+…+

1

b 2 n -1

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=3a_n-2a_n-1得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），变形后可得{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁为首项，2为公比的等比数列，然后利用累加法求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把{a_n}的通项公式代入b_n=2log₄（a_n+1）² ，整理后利用裂项相消法求

1

b 2 1 -1

+

1

b 2 2 -1

+…+

1

b 2 n -1

的和，放缩后得答案．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1，
∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），
∵a₁=1，a₂=3，
∴

an+1-an

an-an-1

=2（n∈N^*，n≥2），
∴{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁为首项，2为公比的等比数列，
则a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1=

1×(1-2n)

1-2

=2n-1．
（Ⅱ）b_n=2log₄（a_n+1）² =2log4(2n-1+1)2=2log422n=2n．
∴

1

bn2-1

=

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
则

1

b 2 1 -1

+

1

b 2 2 -1

+…+

1

b 2 n -1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)

1

2

(1-

1

2n-1

)＜

1

2

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．