Question

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=

-2x x+1 ，x∈[0，1) 1-|x-3|，x∈[1，+∞)

，则函数F（x）=f（x）-

1

π

的所有零点之和为（　　）

• A、

  1

  2π-1

• B、

  1

  1-2π

• C、

  4π-1

  π

• D、

  1-4π

  π

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,分段函数的应用

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：得出x＜0时，f（x）=

-2x 1-x ，x∈(-1，0] |x+3|-1，x∈(-∞，-1]

画出R上的图象，构造f（x）与y=

1

π

交点问题，利用对称性求解，注意确定交点坐标求解．

解答： 解：∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=

-2x x+1 ，x∈[0，1) 1-|x-3|，x∈[1，+∞)

，
∴x＜0时，f（x）=

-2x 1-x ，x∈(-1，0] |x+3|-1，x∈(-∞，-1]

画出图象：
∵函数F（x）=f（x）-

1

π

，
∴f（x）与y=

1

π

交点的横坐标，
根据图象可设交点的横坐标从左到右为x₁，₂，x₃，x₄，x₅，

根据图象的对性可知；x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
∴x₁+x₂=x₃=x₄=x₅=x₃，
∵

-2x

1-x

=

1

π

，x_x=

1

1-2π

，
故函数F（x）=f（x）-

1

π

的所有零点之和为：

1

1-2π

．
故选：B

点评：本题考查了函数的奇偶性，图象的对称性，函数的零点与构造函数交点的问题，属于中档题，关键是确定函数解析式，画图象．