Question

已知抛物线y=2x²+1分别满足下列条件，请求出切点的坐标
（1）切线的倾斜角为45°
（2）平行于直线4x-y-2=0
（3）垂直于直线x+8y-3=0．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：（1）求出导数，由导数的几何意义及直线的斜率公式可得m，即可得到切点；
（2）求出导数，由导数的几何意义和两直线平行的条件即可得到m，进而得到切点；
（3）求出导数，由导数的几何意义和两直线垂直的条件即可得到m，进而得到切点．

解答： 解：（1）设切点为（m，n），y=2x²+1的导数为y′=4x，
即有4m=tan45°=1，解得m=

1

4

，n=

9

8

．
即有切点为（

1

4

，

9

8

）；
（2）设切点为（m，n），y=2x²+1的导数为y′=4x，
由切线平行于直线4x-y-2=0，
即有4m=4，解得m=1，n=3，
则有切点为（1，3）；
（3）设切点为（m，n），y=2x²+1的导数为y′=4x，
由切线垂直于直线x+8y-3=0，
即有4m=8，解得m=2，n=9．
则有切点为（2，9）．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行和垂直的条件，设出切点和正确求导是解题的关键．