Question

在数列{a_n}中，已知奇数项依次排列构成等差数列，偶数项依次排列构成等比数列，a₁=1，a₂=2，a₈=16，且a₈是a₁₅和a₁₇的等差中相项，求数列{a_n}的通项公式及前n项和．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列的通项公式

专题：分类讨论,等差数列与等比数列

分析：①根据题意，求出n为奇数与n为偶数时，数列{a_n}的通项公式即可；
②根据n为奇数与n为偶数时，a_n的通项公式，求出数列{a_n}的前n项和S_n即可．

解答： 解：①数列{a_n}中，奇数项依次排列构成等差数列，偶数项依次排列构成等比数列，
a₁=1，a₂=2，a₈=16，且a₈是a₁₅和a₁₇的等差中相项，
∴a₁₅+a₁₇=2a₈=32；
又∵a₁₅+a₁₇=（a₁+7d）+（a₁+8d）=2×1+15d=32，
∴d=2，
∴当n=2k-1时，a_n=1+2（k-1）=2k-1=n；
又a₂•q³=a₈，
∴q³=

16

2

=8，
∴q=2，
∴当n=2k时，a_n=a₂q^k-1=2•2^k-1=2^k=2

n

2

=(

2

)n；
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=

n，n为奇数 ( 2 )n，n为偶数

；
②n为奇数时，a_n=n，n为偶数时，a_n=(

2

)n；
∴数列{a_n}的前n项和为S_n，
S_n=1+2+3+4+5+8+…+a_n；
n=2k-1时，S_n=（1+3+5+…+2k-1）+（2+4+8+…+(

2

)2k-2）
=k²+（2^k-2）
=(

n+1

2

)2+2

n+1

2

-2
=

1

4

n²+

1

2

n+(

2

)n+1-

7

4

；
n=2k时，S_n=（1+3+5+…+2k-1）+（2+4+8+…+(

2

)2k）
=k²+（2^k+1-2）
=(

n+1

2

)2+2

n

2

+1-2
=

1

4

n²+

1

2

n+2•(

2

)n-

7

4

；
综上，S_n=

1 4 n2+ 1 2 n+( 2 )n+1- 7 4 ，n为奇数 1 4 n2+ 1 2 n+2•( 2 )n- 7 4 ，n为偶数

．

点评：本题考查了等差与等比数列的通项公式、前n项和公式的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．