Question

已知f（x）=-2asinx+2a+b，x∈[-

2π

3

，

π

3

]，是否存在常数a，b∈Q，使得函数f（x）的值域为{y|-3≤y≤

3

-1}，若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域,三角函数的最值

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：首先利用函数的定义域求出三角函数的值域，进一步对系数a进行分类讨论，进一步利用函数的值域建立等量关系，最后求出a和b的值．

解答： 解：已知：x∈[-

2π

3

，

π

3

]，
所以：-1≤sinx≤

3

2

假设存在有理数a和b，则：
①当a＞0时，2a≥-2asinx≥-

3

a
则：4a+b≥f(x)≥-

3

a+2a+b
由于函数f（x）的值域为：{y|-3≤y≤

3

-1}
所以：

4a+b= 3 -1 - 3 a+2a+b=-3

解得：a=1，b=

3

-5．
②当a＜0时，2a≤-2asinx≤-

3

a，
则：4a+b≤-2asinx+2a+b≤-

3

a+2a+b
由于函数f（x）的值域为：{y|-3≤y≤

3

-1}
所以：

4a+b=-3 - 3 a+2a+b= 3 -1

解得：a=-1，b=1．
故存在有理数a=-1，b=1使得函数f（x）的值域为{y|-3≤y≤

3

-1}．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的定义域求函数的值域，利用函数的值域建立等量关系，解方程组中的应用．