Question

已知函数f（x）=

a

3

x³+bx²+cx，g（x）=mx²+

15

4

x-9
（1）当a=3，b=c=0时，若存在过点（1，0）的直线与曲线y=f（x）和y=g（x）都相切，求实数m的值；
（2）当b＞a＞0时，函数y=f（x）在R上单调递增，求

a+b+c

b-a

的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）分别求出f（x），g（x）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用两点的斜率公式和点在曲线上的条件，解方程即可得到；
（2）由题意得f'（x）=ax²+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b²-4ac≤0，将此代入求

a+b+c

b-a

，将式子进行放缩，以

b

a

为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．

解答： 解：（1）当a=3，b=c=0时，f（x）=x³，f′（x）=3x²，
g（x）的导数为g′（x）=2mx+

15

4

，
设过点（1，0）的切线与y=f（x）的切点为（e，f），
与y=g（x）的切点为（s，t），
则3e²=2ms+

15

4

，
由e³=f，3e²=

f

e-1

=

e3

e-1

，解得e=0或

3

2

，
则切线的方程为y=0或y=

27

4

（x-1）．
若e=0，则ms=-

15

8

，且t=ms²+

15

4

s-9，

t

s-1

=0，
解得t=0，s=

24

5

，m=-

25

64

；
若e=

3

2

，则ms=

3

2

，且t=ms²+154s-9，

t

s-1

=

27

4

，
解得s=-

3

2

，m=-1．
综上可得，m=-

25

64

或m=-1．
（2）由题意f'（x）=ax²+bx+c≥0在R上恒成立，
则a＞0，△=b²-4ac≤0即有ac≥

1

4

b²，
即有

a+b+c

b-a

=

a2+ab+ac

ab-a2

≥

a2+ab+ 1 4 b2

ab-a2

=

4+ 4b a + b2 a2

4( b a -1)

，
令t=

b

a

（t＞1），

a+b+c

b-a

≥

4+4t+t2

4(t-1)

=

1

4

（t-1+

9

t-1

+6）≥

1

4

×（2

9

+6）=3．
（当且仅当t=4，即b=c=4a时取“=”）
即有

a+b+c

b-a

的最小值为3．

点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查导数的运用：判断单调性，正确设出切点和求出导数，运用两点的斜率公式以及运用基本不等式是解题的关键．