Question

已知数列{a_n}、{b_n}的各项均为正数且对任意n∈N⁺，都有a_n，b_n，a_n+1成等差数列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比数列，且a₁=10，a₂=15．
（1）求证：数列{

bn

}是等差数列并求出数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）设S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，如果对任意n∈N⁺，不等式2a•S_n＜2-

bn

an

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2b_n=a_n+a_n+1，an+12=bnbn+1，进一步得an+1=

bnbn+1

，联立后可得{

bn

}是等差数列，由等差数列的通项公式求数列{

bn

}的通项公式，进一步求得{b_n}的通项公式，结合an=

bn-1bn

求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）得

1

an

=

2

(n+3)(n+4)

，然后利用裂项相消法求得S_n，代入不等式2aSn＜2-

bn

an

化为4a(

1

4

-

1

n+4

)＜2-

n+4

n+3

，然后转化为关于n的函数分类求解实数a的取值范围．

解答： （1）证明：由已知，得2b_n=a_n+a_n+1     ①，
an+12=bnbn+1    ②，
由②可得an+1=

bnbn+1

    ③，
将③代入①，得对任意n≥2，n∈N^*，有2bn=

bn-1bn

+

bnbn+1

，即2

bn

=

bn-1

+

bn

，
∴{

bn

}是等差数列．
设数列{

bn

}的公差为d，由a₁=10，a₂=15，得b1=

25

2

，b₂=18，
∴

b1

=

5 2

2

，

b2

=3

2

，d=

b2

-

b1

=

2

2

，
∴

bn

=

b1

+(n-1)d=

5 2

2

+

2

2

(n-1)=

2

2

(n+4)，bn=

(n+4)2

2

．
由已知，当n≥2时，an=

bn-1bn

=

(n+3)(n+4)

2

，而a₁=10也满足此式．
∴数列{a_n}、{b_n}的通项公式为：an=

(n+3)(n+4)

2

，bn=

(n+4)2

2

．
（2）解：由（1），得

1

an

=

2

(n+3)(n+4)

=2(

1

n+3

-

1

n+4

)，
则Sn=2[(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)]=2(

1

4

-

1

n+4

)=2(

1

4

-

1

n+4

)，
不等式2aSn＜2-

bn

an

化为4a(

1

4

-

1

n+4

)＜2-

n+4

n+3

，
不等式化为（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0，
设f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，则f（n）＜0对任意n∈N^*恒成立．
当a-1＞0，即a＞1时，不满足条件．
当a-1=0，即a=1时，满足条件．
当a-1＜0，即a＜1时，函数f（n）图象的对称轴为直线x=-

3(a-2)

2(a-1)

＜0，f（n）关于n递减，
只需f（1）=4a-15＜0，解得a＜

15

4

，故a＜1．
综上可得，a的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了裂项相消法求数列的前n项和，考查了数学转化、分类讨论等数学思想方法，考查了数列的函数特性，是中档题．