Question

设a＞1，若关于x的方程a^x=log_ax有实根，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：函数y=a^x与y=log_ax关于y=x对称，只需要讨论与y=x有解即可，构造函数h（x）=a^x-x，只须h（x）的最小值小于等于0，进而得到实数a的取值范围．

解答： 解：由于函数y=a^x与y=log_ax关于y=x对称，只需要讨论与y=x有解即可，
令h（x）=a^x-x，则函数h（x）有零点，
当a＞1时，令h′（x）=a^xlna-1=0，则x=loga

1

lna

，
当0＜x＜loga

1

lna

时，h′（x）＜0，此时函数h（x）为减函数；
当x＞loga

1

lna

时，h′（x）＞0，此时函数h（x）为增函数；
故当x=loga

1

lna

时，函数h（x）取最小值，
若函数h（x）有零点，则h（loga

1

lna

）≤0，
即

1

lna

=log_ae≤loga

1

lna

，
即e≤

1

lna

，
即0＜lna≤

1

e

，
即1＜a≤e

1

e

，
故实数a的取值范围是（1，e

1

e

]，
故答案为：（1，e

1

e

]．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，反函数，导数法判断函数的单调性，导数法求函数的最值，对数的运算性质，是指数函数，对数函数，函数零点，导数等的综合应用，运算量大，综合性可，转化困难，属于难题．