Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

1 3 an+n，n为奇数 an-3n，n为偶数

，求证：数列{a_2n-

3

2

}是等比数列．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：根据数列的递推关系，结合等比数列的定义将条件进行转化即可得到结论．

解答： 解：令n=1时，a₂=

1

3

a₁+1=

1

3

+1=

4

3

，
则a_2n=

1

3

a_2n-1+2n-1=

1

3

[a_2n-2-3（2n-2）]+2n-1=

1

3

a_2n-2+1，
则a_2n-

3

2

=

1

3

a_2n-2+1-

3

2

=

1

3

a_2n-2-

1

2

=

1

3

（a_2n-2-

3

2

），
则

a2n- 3 2

a2n-2- 3 2

=

1

3

，
故数列{a_2n-

3

2

}是公比q=

1

3

的等比数列．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及等比数列的证明，根据等比数列的定义是解决本题的关键．