Question

已知函数y=f（x）=3^x+

x-2

x+1

．
（1）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,函数单调性的判断与证明

专题：证明题,反证法,函数的性质及应用

分析：（1）应用函数的单调性证明函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数即可；
（2）用反证法证明方程f（x）=0无负数根，基本步骤是假设存在x₀＜0（x₀≠-1），使f（x₀）=0，
经过推理得出矛盾，从而证明方程f（x）=0没有负数根．

解答： 解：（1）证明：∵函数y=f（x）=3^x+

x-2

x+1

=3^x-

3

x+1

+1，
任取x₁、x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（3x1-

3

x1+1

+1）-（3x2-

3

x2+1

+1）
=（3x1-3x2）+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

；
∵-1＜x₁＜x₂，
∴3x1-3x2＞0，x₁-x₂＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）证明：假设方程f（x）=0有负数根，不妨设存在x₀＜0（x₀≠-1），使f（x₀）=0，
则3x0=-

x0-2

x0+1

，
又0＜3x0＜1，
∴0＜-

x0-2

x0+1

＜1，
解得

1

2

＜x₀＜2，
这与假设x₀＜0矛盾，
∴方程f（x）=0没有负数根．

点评：本题考查了应用单调性定义证明函数的单调性问题，也考查了反证法的应用问题以及函数的零点与方程根的问题，是综合题目．