Question

已知a∈R，b＞0，则（a-b）²+（a+2+b²-3lnb）²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：令

x=a y=a+2

，

x=b y=3lnb-b2

，分别化为y=x+2，y=3lnx-x²．因此求出（a-b）²+（a+2+b²-3lnb）²的最小值等价于求出直线y=x+2与曲线y=3lnx-x²之间的距离的平方的最小值．利用导数的几何意义及其点到直线的距离公式即可得出．

解答： 解：令

x=a y=a+2

，

x=b y=3lnb-b2

，
分别化为y=x+2，y=3lnx-x²．
因此求出（a-b）²+（a+2+b²-3lnb）²的最小值等价于求出直线y=x+2与曲线y=3lnx-x²之间的距离的平方的最小值．
设与直线y=x+2平行且与曲线y=3lnx-x²相切于点P（x₀，y₀）．
则y′=

3

x

-2x|x=x0=1，解得x₀=1，
∴切点P（1，-1）．
点P到直线y=x+2的距离d=

|1+1+2|

2

=2

2

，
∴（a-b）²+（a+2+b²-3lnb）²的最小值为(2

2

)2=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了导数的几何意义、切线方程、点到直线的距离公式，考查了问题等价转化方法，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．