Question

（1）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a+c=1，∠B=30°，求b的取值范围．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若b=4，∠B=60°，求S_△ABC的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，通过基本不等式求解即可．
（2）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积的公式即可得出．

解答： 解：（1）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a+c=1，∠B=30°，
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-

3

ac=（a+c）²-（2+

3

）ac=1-（2+

3

）ac，
∵ac≤（

a+c

2

）²
∴ac≤

1

4

，当且仅当a=c=

1

2

时等号成立．
可得b²≥1-

2+ 3

4

=

2- 3

4

．∴b≥

6 - 2

4

，b＜a+c=1，
b的取值范围：[

6 - 2

4

，1)．
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
∴16=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac．当且仅当a=c时即思想是正三角形时，取等号．
∴S_△ABC=

1

2

acsin60°≤

1

2

×16×

3

2

=4

3

．
∴△ABC面积的最大值为4

3

．

点评：本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，考查计算能力．