Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N⁺，且点（2，a₂），（a₇，S₃）均在直线x-y+1=0上
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n，及前n项和S_n；
（2）若b_n=

1

2(Sn-n)

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由于点（2，a₂），（a₇，S₃）均在直线x-y+1=0上，可得2-a₂+1=0，a₇-S₃+1=0，根据等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）由b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵点（2，a₂），（a₇，S₃）均在直线x-y+1=0上，
∴2-a₂+1=0，a₇-S₃+1=0，
∴a₂=3，a₇-a₃-a₂-a₁+1=0，
∴a₁+d=3，a₁+6d-（a₁+2d）-3-a₁+1=0，
即a₁+d=3，4d-a₁=2．
∴d=1，a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴S_n=

n(2+n+1)

2

=

n2+3n

2

．
（2）b_n=

1

2(Sn-n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．