Question

已知函数f（x）=

1

a

x²-2x-b（a＞

1

2

）
（1）若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[-2，3]上的最大值为6，最小值为-3，求a，b的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的最值及其几何意义

专题：分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）配方求得对称轴x=a，可得f（x）在[a，+∞）递增，在（-∞，a）递减．由题意可得f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数，即可得到a的范围；
（2）对a讨论，①

1

2

＜a≤3时，②a＞3时，判断对称轴和区间的关系，考虑两端点的函数值的大小，结合函数的单调性，得到a，b的方程，解得即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=

1

a

x²-2x-b（a＞

1

2

）
即为f（x）=

1

a

（x-a）²-b-a，
在[a，+∞）递增，在（-∞，a）递减．
由f（x）在[2，+∞）上是单调函数，即为递增函数，
则有

1

2

＜a≤2；
（2）由于f（x）=

1

a

（x-a）²-b-a，对称轴为x=a，
①

1

2

＜a≤3时，最小值为f（a）=a-2a-b=-b-a=-3，
由f（3）=

9

a

-6-b，f（-2）=

4

a

+4-b，f（3）-f（-2）=

5

a

-10=

5-10a

a

，
当a＞

1

2

时，f（3）＜f（-2）．
即有最大值f（-2）=

4

a

+4-b=6，
解得a=1，b=2或a=4，b=-1（舍去）；
②a＞3时，[-2，3]为减区间，
最小值f（3）=

9

a

-6-b=-3，
最大值f（-2）=

4

a

+4-b=6，
解得a=5，b=-

6

5

．
综上可得，a=1，b=2或a=5，b=-

6

5

．

点评：本题考查二次函数的单调性的判断和运用，主要考查二次函数的对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．