Question

函数f（x）=∫

x 0

t（t-4）dt在（0，5]上的最小值为

 

．

Answer 1

考点：定积分

专题：导数的概念及应用

分析：首先由不定积分的基本求法求出f（x）的函数表达式

1

3

x³-2x²，对函数求导，利用导数求研究函数在（0，5]上的单调性，判断出函数的最小值位置，代入算出结果

解答： 解：f（x）=∫₀^xt（t-4）dt=∫₀^x（t²-4t）dt=（

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3

t³-2t²）|₀^x=

1

3

x³-2x²，
∴f′（x）=x²-4x，
令f′（x）=0，
∵x∈（0，5]，
∴x=4，
当f′（x）＞0，即4＜x≤5时，函数单调递增，
当f′（x）＜0，即0＜x＜4时，函数单调递减，
∴当x=4时，f（x）_min=f（4）=

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3

×4³-2×4²=-

32

3

故答案为：-

32

3

点评：本题考查积分的基本求法，以及利用导数研究函数的单调性求最值，属于基础题．