Question

在△ABC中，AB=4，AC=3，∠A=60°，点H是△ABC的垂心，设存在实数λ，μ，使

AH

=λ

AB

+μ

AC

，则（　　）

• A、λ=

  1

  6

  ，μ=

  5

  9

• B、λ=

  2

  9

  ，μ=

  4

  9

• C、λ=

  1

  3

  ，μ=

  5

  9

• D、λ=

  1

  6

  ，μ=

  4

  9

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，由BD⊥AC，∠BAD=60°，AB=4，可得AD=

1

2

AB=2．因此

AC

=

3

2

AD

，由

AH

=λ

AB

+μ

AC

，可得

AH

=λ

AB

+

3μ

2

AD

，利用B，H，D三点共线，可得λ+

3μ

2

=1．同理由于C，H，E三点共线，可得

8

3

λ+μ=1．即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵BD⊥AC，∠BAD=60°，AB=4，
∴AD=

1

2

AB=2．
∴

AC

=

3

2

AD

，
∵

AH

=λ

AB

+μ

AC

，
∴

AH

=λ

AB

+

3μ

2

AD

，
∵B，H，D三点共线，∴λ+

3μ

2

=1．
由于C，H，E三点共线，同理可得：

AB

=

8

3

AE

，
∴

8

3

λ+μ=1．
联立

λ+ 3 2 μ=1 8 3 λ+μ=1

，解得

λ= 1 6 μ= 5 9

．
故选：A．

点评：本题考查了三角形垂心的性质、向量共线定理、共面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．