Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则f（1），2014f(

2014

)，2015f(

2015

)在大小关系为（　　）

• A、2015f(

  2015

  )＜2014f(

  2014

  )＜f（1）
• B、2015f(

  2015

  )＜f（1）＜2014f(

  2014

  )
• C、f（1）＜2015f(

  2015

  )＜2014f(

  2014

  )
• D、f（1）＜2014f(

  2014

  )＜2015f(

  2015

  )

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的性质,导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：首先利用换元法设g（x）=x²f（x），进一步利用函数的导数求出函数g（x）的单调性，再利用函数的奇偶性求出函数在对称区间里的单调性，最后求出函数大小关系．

解答： 解：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），
则：设函数g（x）=x²f（x）
则：g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）
=g′（x）=x（2f（x）+xf′（x））
当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
则：函数g′（x）＞0
所以函数在x＜0时，函数g（x）为单调递增函数．
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，
则：函数g（x）=x²f（x）为奇函数．
所以：在x＞0时，函数g（x）为单调递增函数．
所以：g（

2015

）＞g(

2014

)＞g(1)
即：2015f(

2015

)＞2014f(

2014

)＞f(1)
故选：D

点评：本题考查的知识要点：利用函数的导数求函数的单调性，函数的奇偶性和函数单调性的关系．