Question

已知a＞0，b＞0，

3

a

+

1

b

=2，求a+b-

a2+b2

的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：三角函数的求值,不等式的解法及应用

分析：如图所示，下面就一般情况给出结论．设P（m，n），∠OAP=θ.θ∈(0，

π

2

)，可得E=m，EA=

n

tanθ

，OA=m+

n

tanθ

．OB=n+mtanθ，AB=

m

cosθ

+

n

sinθ

，于是OA+OB-AB=m+n+mtanθ+

n

tanθ

-

m

cosθ

-

n

sinθ

=2（m+n）-(nx+

2m

x

)，其中x=1+tan

θ

2

∈（1，2）．再利用基本不等式的性质即可得出最大值．把m=

3

2

，n=

1

2

代入上式可得．

解答： 解：∵a＞0，b＞0，

3

a

+

1

b

=2，表示直线AB经过点(

3

2

，

1

2

)，A（a，0），B（0，b）．
则a+b-

a2+b2

=OA+OB-AB．
如图所示，下面就一般情况给出结论．
设P（m，n），∠OAP=θ.θ∈(0，

π

2

)，则
OE=m，EA=

n

tanθ

，∴OA=m+

n

tanθ

．
同理可得：OB=n+mtanθ，AB=

m

cosθ

+

n

sinθ

，
∴OA+OB-AB=m+n+mtanθ+

n

tanθ

-

m

cosθ

-

n

sinθ

=m+n-

m(1-sinθ)

cosθ

-

n(1-cosθ)

sinθ

，
=m+n-

m(cos θ 2 -sin θ 2 )2

cos2 θ 2 -sin2 θ 2

-

n2sin2 θ 2

2sin θ 2 cos θ 2

=m+n-

m(1-tan θ 2 )

1+tan θ 2

-ntan

θ

2

=2（m+n）-(nx+

2m

x

)，其中x=1+tan

θ

2

∈（1，2）．
≤2（m+n）-2

2mn

，当且仅当x=

2m n

=1+tan

θ

2

时取等号．
把m=

3

2

，n=

1

2

代入上式可得：
a+b-

a2+b2

的最大值为2（

3

2

+

1

2

）-2

2× 3 2 × 1 2

=

3

+1-

2 3

．当且仅当

2× 3 2 1 2

=1+tan

θ

2

，即1+tan

θ

2

=

2 3

时取等号．

点评：本题考查了过定点的直线有关最大值问题、三角函数代换问题、三角函数化简、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．