Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，BC=

2

，E为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁BE⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）平面A₁BE与底面A₁B₁C₁D₁所成的锐二面角的大小为θ，当

2 10

5

＜AB＜2

2

时，求θ的取值范围．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明：平面A₁BE⊥平面B₁CD，只需要证明BE⊥平面B₁CD即可；
（Ⅱ）以D为坐标原点，建立坐标系，设AB=a，求出平面A₁BE的法向量，底面A₁B₁C₁D₁的法向量，利用向量的夹角公式，结合

2 10

5

＜AB＜2

2

，即可求θ的取值范围．

解答： （Ⅰ）证明：∵CD⊥平面BCC₁B₁，
∴CD⊥BE，
∵E为CC₁的中点，
∴△B₁BC∽△BCE，
∴∠EBC=∠BB₁C，
∴∠EBB₁+∠BB₁C=90°，
∴BE⊥B₁C，
∴B₁C∩CD=C，
∴BE⊥平面B₁CD，
∵BE?平面A₁BE，
∴平面A₁BE⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）解：以D为坐标原点，建立坐标系，设AB=a，则
A₁（

2

，0，2），B（

2

，a，0），E（0，a，1），
∴

A1B

=（0，a，-2），

A1E

=（-

2

，a，-1），
设平面A₁BE的法向量为

n

=（x，y，z），则

ay-2z=0 - 2 x+ay-z=0

，
∴可取

n

=（

a

2 2

，1，

a

2

）
∵底面A₁B₁C₁D₁的法向量为

m

=（0，0，1），
∴cosθ=

| a 2 |

1+ 3 8 a3

=

1

4 a2 + 3 2

，
∵

2 10

5

＜AB＜2

2

，
∴

8

5

＜a2＜8，
∴

2

＜

4 a2 + 3 2

＜2，
∴

1

2

＜cosθ＜

1

2

，
∴

π

4

＜θ＜

π

3

．

点评：本题考查线面、面面垂直，考查空间角，考查向量知识的运用，知识综合性强．