Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1）），以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e₁．以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e₁，动点E在边AB上，且|AE|＜e₁+e₂，对x∈（0，1）恒成立，则|AE|的最大值为（　　）

• A、

  3

• B、2
• C、

  5

• D、不存在

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：函数的性质及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的定义可得到a₁的值，再由AB=2c₁，e=

c

a

可表示出e₁，同样表示出椭圆中的c₂和a₂表示出e₂的关系式，然后利用换元法求出e₁+e₂的取值范围，再由恒成立思想即可得到所求最大值．

解答： 解：在等腰梯形ABCD中，BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cos∠DAB
=1+4-2×1×2×（1-x）=1+4x，
由双曲线的定义可得a₁=

1+4x -1

2

，c₁=1，e₁=

2

1+4x -1

；
由椭圆的定义可得a₂=

1+4x +1

2

，c₂=x，e₂=

2x

1+4x +1

，
则e₁+e₂=

2

1+4x -1

+

2x

1+4x +1

=

2

1+4x -1

+

1+4x -1

2

，
令t=

1+4x

-1∈（0，

5

-1），
则e₁+e₂=

1

2

（t+

4

t

）在（0，

5

-1）上递减，
则e₁+e₂＞

1

2

×（

5

-1+

4

5 -1

）=

5

，
则有e₁+e₂的取值范围为（

5

，+∞）．
由于|AE|＜e₁+e₂，对x∈（0，1）恒成立，
则有|AE|≤

5

．
即有|AE|的最大值为

5

．
故选C．

点评：本题主要考查椭圆的定义和简单性质、双曲线的定义和简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．