Question

已知函数f（x）=x²-2ax，g（x）=-x²-1．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象始终在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两条公切线，且由四个切点组成的四边形的周长为6，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,二次函数的性质

专题：计算题,导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由题意可得2x²-2ax+1＞0恒成立，由判别式小于0，运用二次不等式的解法即可得到；
（Ⅱ）分别设出切点，点P（x₁，x₁²-2ax₁）和点Q（x₂，-x₂²-1），求出导数，求出切线的斜率，得到切线方程，推出x₁+x₂=a，2x₁x₂=a²-1，则有2x₁²-2ax₁+a²-1=0，再求y₁+y₂=-1-a²．由对称性，可得另一条公切线段P′Q′的中点与PQ中点重合，所以公切线段PQ和P′Q′互相平分．即有切点P'（x₂，f（x₂）），Q'（x₁，g（x₁）），PQ和P′Q′围成一个平行四边形PP'QQ'，则有|PP'|+|PQ'|=3，得到a的方程，解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象始终在函数y=g（x）的图象的上方，即为
x²-2ax＞-x²-1恒成立，即有2x²-2ax+1＞0恒成立，
则有判别式△＜0，即4a²-8＜0，
解得-

2

＜a＜

2

；
（Ⅱ）函数y=x²-2ax的导数y′=2x-2a，
曲线f（x）在点P（x₁，x₁²-2ax₁）的切线方程是：
y-（x₁²-2ax₁）=（2x₁-2a）（x-x₁），即y=（2x₁-2a）x-x₁²①
函数y=-x²-1的导数y′=-2x，
曲线g（x）在点Q（x₂，-x₂²-1）的切线方程是：
即y-（-x₂²-1）=-2x₂（x-x₂）即y=-2x₂x+x₂²-1．②
如果直线l是过P和Q的公切线，
则①式和②式都是l的方程，
2x₁-2a=-2x₂，-x₁²=x₂²-1，
即有x₁+x₂=a，2x₁x₂=a²-1，
则有2x₁²-2ax₁+a²-1=0，
设一条公切线上切点为：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
y₁+y₂=x₁²-2ax₁+（-x₂²-1）=2x₁²-2ax₁-2=-1-a²．
线段PQ的中点为（

a

2

，

-1-a2

2

）．
另一条公切线段P′Q′的中点也是（

a

2

，

-1-a2

2

）．
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分．
即有切点P'（x₂，f（x₂）），Q'（x₁，g（x₁）），
PQ和P′Q′围成一个平行四边形PP'QQ'，
则有|PQ'|=|x₁²-2ax₁-（-x₂²-1）|=|2-a²|，
|PP'|=

(x1-x2)2+(x12-2ax1-x22+2ax2)2

=

1+a2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+a2

•

2-a2

，
由|PQ'|+|PP'|=3，即

1+a2

•

2-a2

+|2-a²|=3，
解得，a²=

1

2

，即有a=±

2

2

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查两点间的距离公式的运用，以及二次不等式恒成立问题，考查运算化简的能力，属于难题．