Question

如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为2

2

，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO=

3

，且FO⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCF；
（Ⅱ）求证CF⊥平面AEF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC中点H，连结OH，则OH∥BD，由正方形性质得AC⊥BD，从而OH⊥AC，以O为原点，建立直角坐标系，利用向量法能证明AE∥平面BCF．
（Ⅱ）求出

CF

•

AF

=-3+3=0，

CF

•

AE

=-3+3=0，可得

CF

⊥

AF

，

CF

⊥

AE

，由此能证明CF⊥平面AEF．

解答： （Ⅰ）证明：取BC中点H，连结OH，则OH∥BD，
又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∴OH⊥AC，∴以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则A（3，0，0），E（1，-2，0），C（-1，0，0），
D（1，-2，0），F（0，0，

3

），

BC

=（-2，-2，0），

CF

=（1，0，

3

），

BF

=（-1，-2，

3

），
设平面BCF的法向量为

n

=（x，y，z），
则

-2x-2y=0 x+ 3 z=0

，取z=1，得

n

=（-

3

，

3

，1），
又四边形BDEF为平行四边形，
∴

DE

=

BF

=（-1，-2，

3

），
∴

AE

=

AD

+

DE

=

BC

+

DE

=（-2，-2，0）+（-1，-2，

3

）=（-3，-3，

3

），
∴

AE

•

n

=3

3

-4

3

+

3

=0，
∴AE

n

，又AE?平面BCF，∴AE∥平面BCF．
（Ⅱ）证明：

AF

=（-3，0，

3

），
∴

CF

•

AF

=-3+3=0，

CF

•

AE

=-3+3=0，
∴

CF

⊥

AF

，

CF

⊥

AE

，
又AE∩AF=A，∴CF⊥平面AEF．

点评：本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．