Question

已知f（x）=

1+lnx

x-1

，g（x）=

k

x

（k∈N^*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：对?c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，可化为x＞1时，g（x）的图象始终在f（x）的图象的下方，从而作图解得．

解答： 解：当k=1时，作函数f（x）=

1+lnx

x-1

，与g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的图象如下，

k=1，对?c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确；
当k=2时，作函数f（x）=

1+lnx

x-1

，与g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的图象如下，

k=2，对?c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确；
当k=3时，作函数f（x）=

1+lnx

x-1

，与g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的图象如下，

k=3时，对?c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正确，
k=4时，作函数f（x）=

1+lnx

x-1

，与g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的图象如下，

k=4，不正确，
故答案为：3．

点评：本题考查了学生的作图能力，属于难题．