Question

已知函数f（x）=（1-m）lnx+

m

2

x²-nx（m≠0）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求n的值；
（2）若存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜1-

1

m

成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，利用导数的几何意义即可得出；
（2）求出导数，对m分类讨论：①当m＜0时，②当m=

1

2

时，③当0＜m＜

1

2

时，④当m＞

1

2

时，再利用导数研究函数的单调性、极值与最值，求得最小值，解不等式即可得出．

解答： 解：（1）函数f（x）=（1-m）lnx+

m

2

x²-nx（m≠0），
导数f′（x）=

1-m

x

+mx-n（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=1-m+m-n=0，
解得n=1．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（1）可知：f（x）=（1-m）lnx+

m

2

x²-x（m≠0），
∴f′（x）=

1-m

x

+mx-1=

(x-1)(mx-1+m)

x

，
由f′（x）=0可得x=1或

1-m

m

，
①当m＜0时，则f（x）在x≥1递减，f（1）取得最大值，且为

m

2

-1，
由题意可得不成立；
②当m=

1

2

时，f′（x）≥0，f（x）在x≥1递增，f（1）取得最小值，且为-

3

4

，
由存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜1-

1

m

成立，可得-

3

4

＜1-2不成立，舍去；
③当0＜m＜

1

2

时，1＜

1-m

m

，f（x）在（1，

1-m

m

）递减，在（

1-m

m

，+∞）递增，
即有f（

1-m

m

）取得最小，
由题意可得f（

1-m

m

）＜1-

1

m

即（1-m）ln

1-m

m

+

m

2

（

1-m

m

）²＜0，
显然左边大于0，则不成立；
④当m＞

1

2

时，1＞

1-m

m

，f（x）在[1，+∞）递增，即有f（1）取得最小值，且为

m

2

-1，
由题意可得f（1）＜1-

1

m

即为

m

2

-1＜1-

1

m

，
解得2-

2

＜m＜2+

2

．
综上可得，实数m的取值范围为（2-

2

，2+

2

）．

点评：本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．